如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上

Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转．旋转过程中， 边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．
（1）求旋转角为θ时，边AB所扫过的面积；
（2）设△BMN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN＝m，当m为何值时△MON的面积最小，最小值为多少？此时旋转角θ为多少度？并求出此时△BMN外接圆的方程．
1、不对，是求转过θ时的面积，而不是转过45°时的面积，看清题意；
2、方法太复杂，涉及到积化和差公式，有简便的方法为什么不用？
3、做错了
那个呼延觉罗·卜 -：你复制别人的答案，想不劳而获，不觉得可耻吗！

Answer 1

1.如图：画出A、B旋转的弧线，弧线所在的圆是以O为圆心的同心圆

∠AOD=∠BOB'=θABE面积=△AOB面积-扇形AOA'面积-△A'OE面积BEB'面积=扇形BOB'面积-△B'OE面积△A'OE面积+△B'OE面积=△A'OB'面积△AOB面积=△A'OB'面积AB扫过面积=ABE面积+BEB'面积=△AOB面积-扇形AOA'面积-△A'OE面积+扇形BOB'面积-△B'OE面积=△AOB面积-扇形AOA'面积+扇形BOB'面积-△A'OB'面积=扇形BOB'面积-扇形AOA'面积=(θ/360°)πOB^2-(θ/360°)πOA^2=(θ/360°)π2.∠AOM=45°-θ AM=tan(45°-θ)BM=1-tan(45°-θ)=tan45°-tan(45°-θ)=sin45°/cos45°-sin(45°-θ)/cos(45°-θ)=(sin45°cos(45°-θ)-cos45°sin(45°-θ))/(cos45°cos(45°-θ))=2^0.5sinθ/cos(45°-θ)∠CON=θ CN=tanθBN=1-tanθ=tan45°-tanθ=sin45°/cos45°-sinθ/cosθ=(sin45°cosθ-sinθcos45°)/(cos45°cosθ)=2^0.5(sin45°-θ)/cosθBM+BN=2^0.5sinθ/cos(45°-θ)+2^0.5sin(sin45°-θ)/cosθ=2^0.5(sinθcosθ+sin(45°-θ)cos(45°-θ))/(cos(45°-θ)cosθ)=(1/2)2^0.5(sin2θ+sin(90°-2θ))/(cos(45°-θ)cosθ)=2^0.5sin45°cos(2θ-45°)/(cos(45°-θ)cosθ)=cos(2θ-45°)/(cos(45°-θ)cosθ)MN^2=BM^2+BN^2=2(((sinθ/cos(45°-θ))^2+(sin(45°-θ)/cosθ)^2)=2((sinθcosθ)^2+(sin(45°-θ)cos(45°-θ))^2)/(cosθcos(45°-θ))^2=(1/2)((sin2θ)^2+(sin(90°-2θ))^2)/(cosθcos(45°-θ))^2=(1/4)(1-cos4θ+1-cos(180°-4θ))/(cosθcos(45°-θ))^2=(1/4)(2-cos4θ+cos4θ)/(cosθcos(45°-θ))^2=1/2(cosθcos(45°-θ))^2MN=(1/2)2^0.5/cosθcos(45°-θ)=cos45°/cosθcos(45°-θ)BM+BN+MN=cos(2θ-45°)/(cos(45°-θ)cosθ)+cos45°/cosθcos(45°-θ)=(cos45°+cos(2θ-45°))/cosθcos(45°-θ)=2cosθcos(45°-θ)/cosθcos(45°-θ)=2p=2是定值3.OA/OM=cos(45°-θ) OM=1/cos(45°-θ)三角形高h=2^0.5/2cos(45°-θ)OC/ON=cosθ ON=1/cosθS△MON=h×ON/2=2^0.5/(4cosθcos(45°-θ))=(1/2)2^0.5/(cos45°+cos(2θ-45°)θ∈(0°,45°)θ=22.5°时，cos(2θ-45°)=1，分子最大，S取最小值=(2^0.5)-1m=MN=cos45°/(cos22.5°×cos(45°-22.5°))=cos45°/(cos22.5°)^2=2^0.5/(1+cos45°)=2(2^0.5-1)M点坐标(2^0.5/2cos22.5°,2^0.5/2cos22.5°)N点坐标(1/cos22.5°,0)△BMN是直角三角形，MN是斜边，也是外接圆的直径求外接圆的圆心点坐标cos22.5°=((cos45°+1)/2)^0.5=(1/2)(2+2^0.5)^0.5(2^0.5/2cos22.5°+1/cos22.5°)/2=(1/4)(2+2^0.5)/cos22.5°=(1/4)(2+2^0.5)/((1/2)(2+2^0.5)^0.5)=(1/2)(2+2^0.5)^0.5=cos22.5°圆心点坐标为(cos22.5°,2^0.5/4cos22.5°)半径=MN/2=2^0.5-1外接圆方程为(x-cos22.5°)^2+(y-2^0.5/4cos22.5°)^2=(2^0.5-1)^2

Answer 2

1.
如图：画出A、B旋转的弧线，弧线所在的圆是以O为圆心的同心圆，黑色区域即AB扫过面积

AA'B面积=△OAB面积-扇形OAA'面积
=1/2-π/8=(4-π)/8
A'BB'面积=扇形OBB'面积-△OA'B'面积
=2π/8-1/2=(π-2)/4
黑色区域面积=(4-π)/8+(π-2)/4=π/8

2.
∠AOM=45°-θ AM=tan(45°-θ)
BM=1-tan(45°-θ)
=tan45°-tan(45°-θ)
=sin45°/cos45°-sin(45°-θ)/cos(45°-θ)
=(sin45°cos(45°-θ)-cos45°sin(45°-θ))/(cos45°cos(45°-θ))
=2^0.5sinθ/cos(45°-θ)
∠CON=θ CN=tanθ
BN=1-tanθ
=tan45°-tanθ
=sin45°/cos45°-sinθ/cosθ
=(sin45°cosθ-sinθcos45°)/(cos45°cosθ)
=2^0.5(sin45°-θ)/cosθ
BM+BN=2^0.5sinθ/cos(45°-θ)+2^0.5sin(sin45°-θ)/cosθ
=2^0.5(sinθcosθ+sin(45°-θ)cos(45°-θ))/(cos(45°-θ)cosθ)
=(1/2)2^0.5(sin2θ+sin(90°-2θ))/(cos(45°-θ)cosθ)
=2^0.5sin45°cos(2θ-45°)/(cos(45°-θ)cosθ)
=cos(2θ-45°)/(cos(45°-θ)cosθ)
MN^2=BM^2+BN^2=2(((sinθ/cos(45°-θ))^2+(sin(45°-θ)/cosθ)^2)
=2((sinθcosθ)^2+(sin(45°-θ)cos(45°-θ))^2)/(cosθcos(45°-θ))^2
=(1/2)((sin2θ)^2+(sin(90°-2θ))^2)/(cosθcos(45°-θ))^2
=(1/4)(1-cos4θ+1-cos(180°-4θ))/(cosθcos(45°-θ))^2
=(1/4)(2-cos4θ+cos4θ)/(cosθcos(45°-θ))^2
=1/2(cosθcos(45°-θ))^2
MN=(1/2)2^0.5/cosθcos(45°-θ)=cos45°/cosθcos(45°-θ)
BM+BN+MN=cos(2θ-45°)/(cos(45°-θ)cosθ)+cos45°/cosθcos(45°-θ)
=(cos45°+cos(2θ-45°))/cosθcos(45°-θ)
=2cosθcos(45°-θ)/cosθcos(45°-θ)
=2
p=2是定值

3.
OA/OM=cos(45°-θ) OM=1/cos(45°-θ)
三角形高h=2^0.5/2cos(45°-θ)
OC/ON=cosθ ON=1/cosθ
S△MON=h×ON/2=2^0.5/(4cosθcos(45°-θ))
=(1/2)2^0.5/(cos45°+cos(2θ-45°)
θ∈(0°,45°)
θ=22.5°时，cos(2θ-45°)=1，分子最大，S取最小值=(2^0.5)-1
m=MN=cos45°/(cos22.5°×cos(45°-22.5°))
=cos45°/(cos22.5°)^2
=2^0.5/(1+cos45°)
=2(2^0.5-1)
M点坐标(2^0.5/2cos22.5°,2^0.5/2cos22.5°)
N点坐标(1/cos22.5°,0)
△MON是直角三角形，MN是斜边，也是外接圆的直径
求外接圆的圆心点坐标
cos22.5°=((cos45°+1)/2)^0.5=(1/2)(2+2^0.5)^0.5
(2^0.5/2cos22.5°+1/cos22.5°)/2
=(1/4)(2+2^0.5)/cos22.5°
=(1/4)(2+2^0.5)/((1/2)(2+2^0.5)^0.5)
=(1/2)(2+2^0.5)^0.5=cos22.5°
圆心点坐标为(cos22.5°,2^0.5/4cos22.5°)
半径=MN/2=2^0.5-1
外接圆方程为
(x-cos22.5°)^2+(y-2^0.5/4cos22.5°)^2=(2^0.5-1)^2

Answer 3

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/d5f8b4c1-c822-4066-9e12-4761ef6702d3
看清楚了呼延觉罗·卜才是原创

Answer 4

如图，正方形OABC的边长为1，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a<0)的图像上，a的值为？

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