无穷大和无穷小有什么区别吗？

Question

如题所述

Answer 1

无穷小+无穷大仍是无穷大，无穷小乘以无穷大没有意义。

正无穷大+正无穷大 = 正无穷大；负无穷大+负无穷大 = 负无穷大；正无穷大+负无穷大 没有意义（出现的话要转换成有意义的形态才能求极限）；无穷大乘以无穷大仍然是无穷大；无穷小乘以无穷小仍然是无穷小；无穷大和无穷小不是有限的常量，不能完全遵守常量的运算法则。

无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

相关如下：

无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

自然数集是具有最小基数的无穷集，它的基数用希伯来字母阿列夫右下角标来表示。

可以证明，任何一个集合的幂集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原来的基数是a，则幂集的基数（2的a次方）。对于两个无穷集合，可以以能否建立它们之间的双射，作为比较其大小的标准。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

Answer 2

无穷大和无穷小是数学上的概念，它们分别指代数值的趋向于无限大或无限小。

无穷大（infinity）表示一个数值无限增大的趋势。可以用符号 ∞ 表示无穷大。当一个数值趋向于无穷大时，它可以比任何有限数值都要大。

无穷小（infinitesimal）表示一个数值无限接近于零的趋势。可以用符号 0 附近的数值。当一个数值趋向于无穷小时，它可以比任何非零的有限数值都要小。

在数学中，我们可以使用无穷大和无穷小来描述函数的性质、极限的概念以及趋近某个点的行为。例如，当函数在某个点上的极限趋近于无穷大时，我们可以说函数在该点处具有无穷大的增长趋势。相反地，如果函数在某个点上的极限趋近于无穷小，则可以说函数在该点处具有无穷小的减小趋势。