求解数学题

Question

已知集合A={x|x的平方-4mx+2m+6=0},B={x|x<0}.若A交B≠空集，求实数m的取值范围。

Answer 1

根据题意，交B≠空集，意思就是说方程x的平方-4mx+2m+6=0至少有一个根x<0,
我们可以求出方程x的平方-4mx+2m+6=0当两根都为正数或不存在实根的m取值范围，然后取其补集得到题设条件，若x的平方-4mx+2m+6=0两根都为正数时，有
4m>0和 2m+6>0同时成立 即m>0 时满足
故取其补集，满足题设条件的m的取值范围时m>0的补集m≤0，而存在根的条件是2m^2-m-3≥0 此时 m≤-1或m≥2/3 ，和m≤0取交集，故此实数m的取值范围是m≤-1

Answer 2

解：因为A交B不空
即x的平方-4mx+2m+6=0至少有一个根是负数

（1）若只有一个根是负数则只要两根之积是负数
2m+6<0即m<-3
(2)若两根都是负数则
4m<0 2m+6>0 (-4m)平方-4*1*(2m+6)>=0
解得 -3<m<=-1
（3） 一个根是0另一个根是负数 也符合要求即当m=-3时
综上所述m<=-1