柯西不等式是什么 怎么用请举例说明

Question

如题所述

Answer 1

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应称作Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。 

柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

扩展资料：

基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。

7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。

8、特殊情况下，化为积分计算。

9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

Answer 2

柯西不等式的本质就是：两点之间，直线最短

它有多种表现形式，以最为直观的二维三角形式表述：

 当且仅当 ad = bc 取等号

这个表述的几何意义是：

当然它的更具一般性的表述 (n维):

当且仅当 a1/b1 = a2/b2 = ... = ai/bi = an/bn

柯西不等式在分析中非常重要，是一个重要的基础定理。在光学等极值问题中，柯西不等式是“光直线传播”“折射定理”的数学本质。

例如：

具体解法：(sqrt 表示开平方)

       T(x) = 5 sqrt (36 + x^2) + 4(20 - x)
              = sqrt(4^2 +3^2) sqrt(6^2 + x^2) + 80 - 4 x
              >= 4x + 3*6 + 80 - 4x
              = 98

当且仅当 3x = 4*6, 即 x = 8 时取等号

它和光的折射（全反射特例）具有相同的数学内涵......

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Answer 3

我们在初中学过的不等式：a^2+b^2>=2ab是柯西不等式的最简单情况。一般的柯西不等式如下：
（a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2.