求证：当X>0时，（1+1/X）的x次方<e

Question

大学数学，请高手指教。感激万分！

Answer 1

象(1+1/x)^x之类的形式，首先的想法就是先取对数

证明：
不等式两边同时取自然对数，自然对数单调递增，故不等式不变号
xln(1+1/x)<1
又x>0
故等价于ln(1+1/x)<1/x
令t=1/x,
<=> 当t＞0时，ln(1+t)＜t

构造函数f(t)＝ln(1+t)－t，f(0)＝0，f'(t)＝1/(1+t)－1＜0，
故f(t)在[0,+∞)上单调递减
即当t＞0时，f(t)＜f(0)，
ln(1+t)-t<0
即ln(1+t)＜t

故x＞0时，ln(1+1/x)＜1/x
x＞0 时，(1+1/x)^x ＜ e