关于高等数学中极限的问题

Question

题目是这样的：
lim 3n+1 3
——— = —
n→∞ 2n+1 2
题目是通过这个式子证明极限是3/2.
他答案的过程有个化解的步骤我看不懂，为什么能化解到最后一步：

|3n+1 3 | 1 1
|——— - — |= ———— < ——
|2n+1 2 | 2（2n+1） 4n
我不知道他什么怎么从倒数第二步化解到倒数第一步的，从倒数第二步继续化解不是应该是4n+2/1么，那个常数2去哪里了？
谁能帮我解答一下？
还有一题:
lim √n^2 +a^2
————— = 1
n→∞ n

化解过程是这样的：

|√n^2 +a^2 | √n^2 +a^2 -n a^2 a^2
|————— - 1 |= —————— = ———————— < ———
| n | n n（√n^2 +a^2 +n ） 2n^2
这里开根号的是n^2 +a^2。
这题我也不知道它是如何化到最后一步的？
麻烦高手帮我解答，谢谢！

Answer 1

第一题你说少了2 ，其实这是再利用夹逼定理解呢（通俗说就是放缩发）第二题也是一样。但是，我们说有没有必要这样来做呢，你完全可以将知识点融会贯通，你上面说列出的量道题目都是求数列的极限，我们说，求数列极限的方法很少，这是因为数列是离散的不是连续的，但是我们说函数极限的求解方法就很多了，其实两道题目都可以假设n=x，把数列极限看成函数极限，那你就发放很多了，由于是无穷大比无穷大类型，你可以用罗比达法则，上下求导数，当然这两题一看答案就出来了，因为无穷大比无穷大类型，比较最高次数求极限，第一题分子分母最高次都是一次，分子最高次前面系数为3，分母为2.那就是3/2无疑，第二题也一样，分子分母最高次都是一次，且都是1.那1无疑。最后再将函数变量X转化为n。两者数值上是一样的。

Answer 2

第一题，把算式化为3/2-0.5/（2n-1），当n趋于无穷时，2n-1趋于无穷，0.5/（2n-1）趋于0，上式极限就为3/2.
第二题看不大明白过程，不过a是常数，常数无论多大在无穷面前都是无法和无穷相比的，a^2/n都可以视为0.如果开根号的是n^2 +a^2的话n为+∞ 时极限是1，为-∞ 时就是-1， 我就是大一的，还是挺简单的。

Answer 3

我用自己的方法做给你看。
(3n+1)/(2n+1)
=[3/2*(2n+1)-1/2]/(2n+1)
=3/2-(1/2)/(2n+1)
你看，当n趋于正无穷时，(1/2)/(2n+1）就趋于0了，那么晚极限值就是3/2

第二个更简单：
根号(n^2+a^2)/n=根号[(n^2+a^2)/n^2]=根号(1+a^2/n^2)=根号[1+(a/n)^2]
当n趋于正无穷时，a/n趋于0，那么极限显然就是1.
采纳哦！(*^__^*) 嘻嘻……！

Answer 4

第一题是分子是一样的，分母一个是4n+2，另一个是4n，因为分母第一个大于第二个，所以数值第一个小于第二个；
第二题一样，第二步是分子分母同时乘以了（√n^2 +a^2 +n ），然后分子是一样的，一个是n^2+n√n^2 +a^2 ,另一个是2n^2,同样分母第一个大于第二个，所以数值第一个小于第二个。

Answer 5

1. 倒数第二步到最后一步用的是小于号，不是等号，4n+2>4n 所以最后一步成立
2.分母有理化，上下同乘√（n^2+a^2)+n,当n很大时√（n^2+a^2)趋于n所以分母就变成2n^2