直线与抛物线的交点如何求？

Question

如题所述

Answer 1

要求直线与抛物线的交点，我们需要解方程组，将直线方程和抛物线方程联立并求解交点的坐标。
1. 设直线方程为y = mx + b，其中 m 是直线的斜率，b 是直线的截距。
2. 抛物线方程一般形式为 y = ax² + bx + c，其中a、b、c是抛物线的系数。
将直线方程和抛物线方程联立，得到方程组：
y = mx + b
y = ax² + bx + c
将方程组中的 y 值相等，我们可以得到一个关于 的方程。解这个方程即可求得交点的横坐标 ，然后将 x 带入其中一个方程求得交点的纵坐标 。
具体求解过程可能因直线和抛物线的具体形式而有所不同。对于特定的直线和抛物线方程，请提供方程式以便我能够给出更具体的解答。

Answer 2

1、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m（坐标系中的水平直线）的交点问题： ①把y=m代入y=ax2+bx+c得ax2+bx+c=m，即ax2+bx+（c-m）=0
此时方程的判别式△=b2-4a(c-m)。
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。 ②特殊情形：
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点问题： 令y=0，则ax2+bx+c=0
此时方程的判别式△=b2-4ac
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。
2、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b的交点问题： 令ax2+bx+c=kx+b，整理方程得：ax2+(b-k)x+（c-b）=0 此时方程的判别式△=(b-k)2-4a（c-b）
△＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+b有两个交点； △=0时有一个交点； △＜0时无交点。
总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。
3、 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=0（x轴）的交点位置问题：
若ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0） ① 若x1x2＞0、x1+x2＞0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点右侧 ② 若x1x2＞0、x1+x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点在原点左侧 ③ 若x1x2＜0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分居于原点两侧本回答被网友采纳

Answer 3

要求直线与抛物线的交点，需要把直线方程和抛物线方程联立，并解方程组。
先假设直线的方程为y = mx + c，其中m是直线的斜率，c是直线的截距。

抛物线的一般方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是抛物线的系数。

联立两个方程，得到以下方程组：

ax^2 + bx + c = mx + c
将方程组化简，得到以下二次方程：

ax^2 + (b - m)x = 0
接下来需要解这个二次方程，可以使用求根公式或配方法解出x的值。然后将求得的x值代入直线方程，就可以求得对应的y值。

通过解方程组，得到的x和y的值就是直线与抛物线的交点的坐标。

请注意，如果二次方程无实数解，则说明直线和抛物线没有交点。此外，如果直线与抛物线有多个交点，需要分别计算每个交点的坐标。

Answer 4

1. 知识点定义来源和讲解：

直线与抛物线的交点可以通过求解二元一次方程组来实现。直线的方程通常可以表示为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。抛物线的方程通常可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是抛物线的系数。

2. 知识点运用：

为了求解直线与抛物线的交点，我们需要把直线的方程代入抛物线的方程，然后解方程组得到交点的横坐标和纵坐标。这样就可以确定交点的具体位置。

3. 知识点例题讲解：

假设有一条直线的方程为y = 2x + 1，抛物线的方程为y = x² - 3x + 2。求解它们的交点。

首先，把直线的方程代入抛物线的方程中：

2x + 1 = x² - 3x + 2

将方程移项整理为标准二次方程的形式：

x² - 5x + 1 = 0

现在我们可以使用求解二次方程的方法（如配方法、因式分解或求根公式）求解这个二次方程。假设我们使用求根公式，得到两个根：

x₁ ≈ 0.199

x₂ ≈ 4.801

将x的值代入直线的方程，可以求解对应的y值：

对于x₁，y₁ = 2(0.199) + 1 ≈ 1.398

对于x₂，y₂ = 2(4.801) + 1 ≈ 10.602

所以，直线与抛物线的交点为(x₁, y₁) ≈ (0.199, 1.398) 和 (x₂, y₂) ≈ (4.801, 10.602)。这两个点分别是直线和抛物线的交点。

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Answer 5

要求直线与抛物线的交点，可以将直线方程代入抛物线方程中，从而得到交点的坐标。以下是具体的步骤：

1. 考虑一个一般的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是确定抛物线形状的常数。
2. 假设直线方程为 y = mx + d，其中 m 和 d 是直线方程中的参数。
3. 将直线方程中的 y 替换为抛物线方程中的 y，得到一个关于 x 的方程：ax^2 + bx + c = mx + d。
4. 将该方程整理为标准二次方程形式：ax^2 + (b - m)x + (c - d) = 0。
5. 通过解这个二次方程，求出 x 的值。可以使用求解二次方程的公式或其他方法得到 x 的解。
6. 将得到的 x 值代入直线方程，求解对应的 y 值。
7. 这样得到的 (x, y) 即为直线和抛物线的交点坐标。

需要注意的是，由于抛物线和直线的特殊性，可能出现以下几种情况：
- 直线与抛物线相切，此时方程有且只有一个实根。
- 直线与抛物线有两个交点，此时方程有两个不相等的实根。
- 直线与抛物线没有交点，此时方程无实根。

根据具体的抛物线和直线方程，可以使用这些步骤来求解交点的坐标。本回答被网友采纳