在极坐标系中，求曲线ρ=2cosθ关于直线θ=π4（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程

Question

在极坐标系中，求曲线ρ=2cosθ关于直线θ=π4（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程．

Answer 1

解法一：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线ρ=2cosθ的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，且圆心C为（1，0）．
直线θ＝

π

4

的直角坐标方程为y=x，
因为圆心C（1，0）关于y=x的对称点为（0，1），
所以圆心C关于y=x的对称曲线为x²+（y-1）²=1，
所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ＝

π

4

（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ．
解法二：设曲线ρ=2cosθ上任意一点为（ρ′，θ′），其关于直线θ＝

π

4

对称点为（ρ，θ）
则

ρ′＝ρ θ′＝2kπ+ π 2 ?θ

，
将（ρ′，θ′），代入（ρ′，θ′），得ρ＝2cos(

π

2

?θ)，即ρ=2sinθ，
所以曲线ρ=2cosθ关于直线θ＝

π

4

对称的曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ．