如何证明f(x)= sinx的Taylor展式

Question

如题所述

Answer 1

解：

^利用sinx的Taylor展式sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...，故

f(x)=x^4-x^6/3!+x^8/5!-x^10/7!+...

由此知道f^(6)(0)/6!=-1/3!，故

f^(6)(0)=-6！/3!=-120。

Taylor展式有唯一性：其表达式必定是这样的：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+....+f^(n)(0)x^n/n!+...

即必有x^n的系数时f^(n)(0)/n!。

泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面：

1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。

4、证明不等式。

5、求待定式的极限。