sinx的泰勒展开式怎么列？

Question

如题所述

Answer 1

第一步，确定泰勒展开式的形式。泰勒展开式的一般形式为：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + f'''(a)/3!(x-a)^3 + ...
其中，f(a)表示函数在点a的值，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等分别表示函数在点a的一阶导数、二阶导数、三阶导数等。
第二步，计算sinx的导数。sinx的一阶导数为cosx，二阶导数为-sinx，三阶导数为-cosx，四阶导数为sinx，以此类推，可以发现sinx的导数具有周期性，每四阶导数会重复一次。
第三步，将sinx的导数代入泰勒展开式。取a=0，则sinx在x=0处的值为0，一阶导数值为1，二阶导数值为0，三阶导数值为-1，以此类推。将这些值代入泰勒展开式，得到：
sinx = 0 + 1*x - 0/2!*x^2 - 1/3!*x^3 + 0/4!*x^4 + 1/5!*x^5 - ...
化简后得到：
sinx = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
这就是sinx的泰勒展开式。

Answer 2

sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
最后以省略号结束，代表 “ 无穷 ”，需要求的就是 a0，a1，a2，…… 的值，准确地说就是通项公式。然后，我们就可以开始 “ 微分 ” 了，就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分，其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x，再回到 sin x……我们也会注意到，凡是把右边微分后，第一项(常数)就为 0 了，也就是可以直接忽略。

这样一来，等式左边在有规律地循环着，等式右边每次都减少一项。当然，x = 0 时等式也会成立，那将 x = 0 带入，将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来，就可以顺利求出 a0，a1，a2，……啦，sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程，下面是对于所有系数得到的等式。

最后，等式左边是四个一循环，可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后，等是右边可以用字母来代替，就是 k! × ak，这里 k! 代表阶乘。所以说，我们可以得到一个看上去漂亮的结果:

如果将系数数列 a 代入，那么偶数项都会消掉(系数为 0)，只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个，这里只是 sin x 的泰勒展开):