已知一动圆M恒过点(1,0),且总与直线L:X=-1相切。1,求动圆圆心M的轨迹方程?

Question

2.在曲线C上，是否存在异于原点的A(X1，Y1),B (X2，Y2)两点，当Y1Y2=-16时，直线AB是否恒过定点?若存在，求出定点坐标;若不存在，请说明理由。

Answer 1

这题一看就是求抛物线方程，圆与x=-1的距离等于到定点(1,0)的距离，就可以用抛物线的方法解决
设抛物线y²=2px，焦点为(p/2,0)
p/2=1
p=2
所以抛物线方程，即圆心方程y²=4x
2.先设直线AB的方程:y=kx+b
联立抛物线方程y²=4x
可得到二次方程:k²x²+(2kb-4)x+b²=0
韦达定理x1x2=b²/k²
x1+x2=(4-2kb)/k²
∵y1y2=-16
通过公式:
y1²=4x1
y2²=4x2
把y1y2转化为x1x2=16
结合上面b²/k²=16得出b与k的关系式:b=±4k(前提是k≠0)
继续往下算，还有个方程组没联立，就是我们设的直线方程
y1=kx1+b
y2=kx2+b
y1y2=k²x1x2+kb(x1+x2)+b²=-16
我们之前算过，b²=16k²，x1+x2=(4-2kb)/k²
带进去化简得32k²+(b(4-2kb))/k+16=0
这时把先前b=±4k两种情况带进去验算，得出b=-4k
∴得出的直线方程:y=kx-4k
y=k(x-4)
所以始终过定点(4,0)
还有最后一步，k=0的情况也要验算一下，发现y=0，肯定过(4,0)这个点，所以确定定点为(4,0)
终于做完了，好辛苦，睡觉去了~~