AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵

求达人解答

推荐答案 2014-02-18

假定你所说的“AB均为实对称矩阵”其实是“A和B均为实对称矩阵”

先取正交阵P使得P'AP＝D是对角阵
令C＝P‘BP，由条件知DC＝CD，把每个元素都写出来，再利用D的对角元两两不同即得C是对角阵

事实上即使去掉“A有n个互异的特征值”这个条件结论仍然是成立的，只不过是证明还要多加一步而已追问

A和B均为实对称矩阵，
如果去掉条件：A有n个互异的特征值
要怎么证明呢？

追答

取正交阵Q使得Q‘AQ＝D，且D的对角元按大小次序排列，把相同的特征值放到一起构成一个块
然后C＝Q’BQ，比较一下DC＝CD得到C是块对角阵，然后再把每个对角块进一步对角化即可

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