独立的泊松分布之和是否仍服从泊松分布

Question

设x1,x2,...,xn均服从参数为λ的泊松分布且相互独立，问其和服从泊松分布吗？若其服从泊松分布，那么其服从参数为多少的泊松分布？可以证明吗？

Answer 1

独立的泊松分布之和仍服从泊松分布。

可以证明，并且这些柏松分布各自的参数还不一样。

设X1服从参数为λ1的柏松分布，

设X2服从参数为λ2的柏松分布。

则对于任意非负整数k，有

P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!

P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!

于是(sum表示求和)

P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k), k=0,1,...,m) (独立性，全概率公式)

= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!], k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k, k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m  (二项式定理)

= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!

即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2)。用数学归纳法可证n个独立柏松变量的和服从

Po(λ1+λ2+...+λn)

扩展资料：

实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

因此泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性。）

参考资料来源：百度百科-泊松分布

Answer 2

可以证明，并且这些柏松分布各自的参数还不一样。
设X1服从参数为λ1的柏松分布，
设X2服从参数为λ2的柏松分布。
则对于任意非负整数k，有

P(X1 = k) = e^(-λ1) * λ1^k / k!
P(X2 = k) = e^(-λ2) * λ2^k / k!

于是(sum表示求和)

P(X1 + X2 = m) = sum (P(X1 = k)P(X2 = m - k), k=0,1,...,m) (独立性，全概率公式)

= sum ([e^(-λ1) * λ1^k / k!][e^(-λ2) * λ2^(m-k) / (m-k)!], k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * sum(m! / [k!(m-k)!] * (λ1/λ2)^k, k=0,1,...,m)

= e^(-λ1-λ2) λ2^m/m! * (1 + λ1/λ2)^m (二项式定理)

= e^(-λ1-λ2) (λ1+λ2)^m / m!

即得X1 + X2符合Po(λ1+λ2)。用数学归纳法可证n个独立柏松变量的和服从

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Answer 3

可以证明，并且这些柏松分布各自的参数还不一样。
设X1服从参数为λ1的柏松分布，
设X2服从参数为λ2的柏松分布。
则对于任意非负整数k，有

Answer 4