求定积分，详细点，谢谢

Question

如题所述

Answer 1

(1)

先算
sin³x=sinxsin²x=(1/2)sinx(1-cos2x)=(1/2)(sinx-sinxcos2s)
=(1/2)[sinx-(1/2)(sin3x-sinx)]
= (3/4)sinx-(1/4)sin3x

所以先求出不定积分
=(3/4)∫xsinxdx-(1/4)∫xsin3xdx
= -(3/4)∫xdcosx+(1/12)∫xdcos3x
=(1/12)[xcos3x-(1/3)sin3x]-(3/4)[xcosx-sinx]
=(1/12)xcos3x-(3/4)xcosx-(1/3)sin3x+(3/4)sinx+C

然后带入求出，
原积分=(1/12)xcos3x-(3/4)xcosx-(1/3)sin3x+(3/4)sinx   |（0---》π)
=2π/3

(2)

这种方法不习惯, 还有一种简单方法

∫(0->π)   xf(sinx)dx=(π/2) ∫(0->π)  f(sinx)dx

所以，原积分=∫(0->π)   xsin³xdx=(π/2) ∫(0->π) sin³xdx=2π/3

亲测无误

追问

第二种看不懂

追答

是个结论，f(sinx)指的是含有sinx或者cosx，而不含有x的函数
用t=π-x代换，就可以证明出来。
你如果不想用，就用第一种好了。

Answer 2

这个方法有点麻烦，但容易理解

Answer 3

太简单了 ，小儿科
您学过高数没？怎么弄得这个题，大学没作业呀？
我大四 刚考的研究生

Answer 4

追问

这个公式我很陌生，也不会去记，有没有其他方法

追答