立方和公式的公式证明

Question

如题所述

Answer 1

我们知道：
0次方和的求和公式，即
1次方和的求和公式，即
2次方和的求和公式，即——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式，迭代即得。
具体如下：
(k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1
利用上面这个式子有：
23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1
33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1
43 - 33 = 3×32 + 3×3 + 1
53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1
……
(n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1
把上述各等式左右分别相加 得到：
(n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1
n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1)
其中12 + 22 + 32 + …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6
代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33 + …… + n3=[n(n+1)/2]2 取公式：
系数可由杨辉三角形来确定
那么就得出：
…………⑴
…………⑵
…………⑶
…………
…………(n).
于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有
左边=
右边=
把以上这已经证得的三个公式代入，

得
移项后得
等号右侧合并同类项后得
即

推导完毕。 设数列{}=n(n+1)(n+2)，其n项和为，且设=+++…+，则
=1×(1+1)×(1+2)+2×(2+1)×(2+2)+…+n(n+1)(n+2)
=
=
=+3+2
=+3×+2×
=++n(n+1)
又=1×（1+1）×(1+2)+2×（2+1）×(2+2)+…+n(n+1)（n+2）
=+++…+
=(+++…+)
=(+++…+)
=(+++…+)
=(++…+)
=…
=
=6
∴
由此得=。