立方和与立方差公式的推导过程

Question

立方和与立方差公式的推导过程

Answer 1

a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

公式证明

⒈迭代法：　　

我们知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1）/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1）/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1）（2N+1）/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1）（2n+1）/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式（x+1）^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

取公式：（X+1）^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

（N+1）^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

N^4-(N-1）^4=4(N-1）^3+6(N-1）^2+4(N-1）+1…………⑵

（N-1）^4-(N-2）^4=4(N-2）^3+6(N-2）^2+4(N-2）+1…………⑶

…………

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………（n)

于是⑴+⑵+⑶+……+(n）有

左边=(N+1）^4-1

右边=4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N

所以：

把以上这已经证得的三个公式代入

4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+N^2）+4（1+2+3+……+N)+N=(N+1）^4-1

得4（1^3+2^3+3^3+……+N^3）+N(N+1）（2N+1）+2N(N+1）+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2）

即

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

立方和公式推导完毕

1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1）]^2

2. 因式分解思想证明如下：

a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b　

=a^2(a+b)-b(a^2-b^2）=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2）

Answer 2

楼主您好，网上常见的推导都是构造性的，说白了还是知道公式之后把结果倒了回来，没什么意思。我介绍一种几何推导法：

初中教材上介绍了一种从几何角度探究平方公式的办法，图形如下

以此出发，我们亦可以在三维空间中探究两个立方体的体积差，用两种方法表示剩余部分的体积，最后变形得到立方差公式。

（图中大立方体棱长为a，角落里的小立方体棱长为b）

具体探究过程自己去补充吧！

Answer 3

解析：
a³+b³
=a³+a²b-a²b+b³
=(a³+a²b)-(a²b-b³)
=a²(a+b)-b(a²-b²)
=a²(a+b)-(a+b)b(a-b)
=a²(a+b)-(ab-b²)(a+b)
=(a+b)(a²-ab+b²)
～～～～～～～～～～～～
a³-b³
=a³-a²b+a²b-b³
=(a³-a²b)+(a²b-b³)
=a²(a-b)+b(a²-b²)
=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)
=a²(a-b)+(ab+b²)(a-b)
=(a-b)(a²+ab+b²)追问

谢谢！为什么添的项是a²b而不是其他的项呢，比如ab²

追答

ab²也可以

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Answer 4

(a+b)(a2-ab+b2)
＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3
＝a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)
＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
＝a3-b3

＝a3-b3

Answer 5

几个立方和立方差这个公式推导过程的话，你们书上应该都有这个很简单。