在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x

Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A 1 ，作正方形A 1 B 1 C 1 C；延长C 1 B 1 交x轴于点A 2 ，作正方形A 2 B 2 C 2 C 1 …按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为 　　 ．

Answer 1

5（ ） 4020

试题分析：先利用ASA证明△AOD和△A 1 BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A 1 B，所以正方形A 1 B 1 C 1 C的边长等于正方形ABCD边长的 ，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2011个正方形的面积． 解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC， ∴∠ABA 1 =90°，∠DAO+∠BAA 1 =180°﹣90°=90°， 又∵∠AOD=90°， ∴∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠ADO=∠BAA 1 ， 在△AOD和A 1 BA中， ， ∴△AOD∽△A 1 BA， ∴ = =2， ∴BC=2A 1 B， ∴A 1 C= BC， 以此类推A 2 C 1 = A 1 C， A 3 C 2 = A 2 C 1 ， 即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 倍， ∴第2011个正方形的边长为（ ） 2010 BC， ∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2）， ∴BC=AD= = ， ∴第2011个正方形的面积为[（ ） 2010 BC] 2 =5（ ） 4020 ． 故答案为：5（ ） 4020 ． 点评：本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强．