用导数如何判断函数凹凸？

Question

如题所述

Answer 1

二阶导数判断凹凸的方法如下：

一、二阶导数判断凹凸

1、如果一个函数在某个区间内的二阶导数大于0，那么这个函数在这个区间内是凹函数。这意味着函数图像是向下凸出的。

2、如果一个函数在某个区间内的二阶导数小于0，那么这个函数在这个区间内是凸函数。这意味着函数图像是向上凸出的。

3、如果二阶导数在某个区间内先大于0后小于0，那么函数在这个区间内会经历一个由凹函数到凸函数的转变。

4、如果二阶导数在某个区间内先小于0后大于0，那么函数在这个区间内会经历一个由凸函数到凹函数的转变。

5、如果二阶导数在某个区间内保持不变（恒大于0或恒小于0），那么函数的凹凸性也保持不变。

二、二阶导数的定义

二阶导数是一阶导数的导数。它反映的是函数图像的凹凸性，也就是说，二阶导数大于0的区间，函数图像是向下凹的；二阶导数小于0的区间，函数图像是向上凸的。

二阶导数判断凹凸的运用：

1、判断单调性：

如果一个函数在某个区间内的二阶导数大于0，那么这个函数在这个区间内是凹函数，并且是单调递增的。这意味着函数图像是向下凸出的，并且随着x的增加，y的值也在增加。

2、判断拐点和凹凸性转变：

如果二阶导数在某个区间内先大于0后小于0，那么函数在这个区间内会经历一个由凹函数到凸函数的转变。这通常称为“拐点”。相反，如果二阶导数在某个区间内先小于0后大于0，那么函数在这个区间内会经历一个由凸函数到凹函数的转变。

3、判断曲线的形状：

通过观察二阶导数的符号变化，我们可以判断出函数图像的形状。例如，如果二阶导数始终大于0，那么函数图像是一个向下凸出的曲线；如果二阶导数始终小于0，那么函数图像是一个向上凸出的曲线。