连续函数一定可导吗？

Question

如题所述

Answer 1

1   连续函数不一定可导，可导一定连续。比如函数y=｜x｜，连续但不可导；

2   光滑函数，一定可导。光滑的定义：若f的导函数在[a，b]上连续，则称f在[a，b]上光滑。

     就是说光滑不但要求可导，而且要求导函数也连续，这要比仅仅要求函数可导条件更为

     苛刻一些。

     从应用来说，连续函数在分析学基础课程里出现较多；

     而光滑的概念，则在傅里叶级数里开始出现，至于后续分析课程，比如调和分析，微分几何，

      偏微分方程等等，因为对函数要求更高而更多使用光滑或者分段光滑的概念。

下图是函数y=｜x｜的图像，在原点连续但不可导。类似的例子非常多。