导函数的凹凸性与原函数的二阶导数有关。具体而言，如果一个函数的二阶导数是正的，那么该函数在对应区间上是凹的；如果一个函数的二阶导数是负的，那么该函数在对应区间上是凸的。
当二阶导数f"(x)存在且连续时，可以使用以下规则来判断函数的凹凸性：
1）如果在某个区间上，f"(x)大于零，那么函数f(x)在该区间上是凹的。
2）如果在某个区间上，f"(x)小于零，那么函数f(x)在该区间上是凸的。
3）如果在某个点x处，f"(x)等于零，那么需要进一步判断。可以通过观察这个点附近的二阶导数值的变化来判断函数的凹凸性：
如果在x的左侧，f"x)从正变为负，即左极限小于零，右极限大于零，那么函数f(x)在该点x处由凹转为凸，存在拐点。
如果在x的左侧，f"(x)从负变为正，即左极限大于零，右极限小于零，那么函数f(x)在该点x处由凸转为凹，存在拐点。
因此，要判断一个函数在某个区间上的凹凸性，可以计算该区间上的函数f(x)的二阶导数f"(x)，并根据f"(x)的正负来确定凹凸性。
函数某点处一阶导为0，二阶导小于0，不是判断曲线凹凸的条件，是该点处函数取得极大值的充分条件。而该点的某邻域是凸曲线的充分条件为二阶导为0，三阶导小于0。
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
扩展资料：
设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2，那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数，同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
参考资料来源：百度百科-导数