椭圆点差法公式结论

Question

如题所述

Answer 1

椭圆点差法公式是一种计算椭圆曲线上两点之间的距离的方法。该公式的结论是，两个点P和Q之间的距离可以表示为它们的横坐标之差的平方乘以一个系数减去它们的纵坐标之差的平方乘以另一个系数的平方根。
这个结论的证明是基于椭圆曲线上的基本性质。椭圆曲线上的点满足一条特殊的方程，其中包含两个参数a和b。对于任意两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们之间的距离可以表示为：
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
但是这个式子不方便计算，因为它包含一个平方根。为了简化计算，可以将式子变形为：
d^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
再将x2和y2表示为x1和y1的函数，可以得到：
d^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
= (x2 - x1)^2 + (y2 + y1)(y2 - y1)
= (x2 - x1)^2 + (y2 + y1)(y2 + y1) - 4y1y2
由于椭圆曲线的方程中包含a和b两个参数，因此可以将表达式中的x2和y2表示为x1和y1的函数。这个过程可以使用椭圆曲线上的点加法和点乘法来完成。最终的结果是：
d^2 = (3x1^2 + a) / 2y1 - (3x1^2 + a) / 2y2
这个公式就是椭圆点差法公式的结论。它可以用来计算任意两个椭圆曲线上的点之间的距离，无需使用平方根函数，从而避免了复杂的计算。