若fx在ab的闭区间上连续,则fx的导数是否连续

Question

若fx在ab的闭区间上连续,则fx的导数是否连续

Answer 1

例如f（x）=-1（x∈[-1，0]）；1（x∈（0，1]）
很明显，f（x）在区间[-1，,1]内只有1个跳跃间断点x=0，所以根据定积分的性质，f（x）在[-1，1]连续且可积。
而也很容易就能算出来∫-1→xf(t)dt=|x|-1

而|x|-1在x=0点是不可导的，虽然|x|-1在x=0点是连续的。

所以如果f（x）在［a,b］有跳跃间断点，那么∫a→xf(t)dt在这个跳跃间断点处不可导。但是在这个跳跃间断点处连续。
其实就是∫a→x f(t)dt在跳跃间断点处的左右导数都存在，但是不相等。所以连续而不可导。

连续一定可积，
闭区间上连续的函数一定有界

Answer 2

不一定，仅从f(x)在[a,b]上连续这一条，甚至不能保证f(x)
在(a,b)上存在导函数，更不用说导函数是不是连续了。

Answer 3

y= (cos(x^2))^2 dy = 2(cos(x^2) d(cos(x^2)) =2(cos(x^2) (-sin(x^2)) d(x^2) = -4xcos(x^2) .sin(x^2) dx

Answer 4

题干不全