数学期望和方差公式怎么推导的？

Question

如题所述

Answer 1

数学期望和方差是统计学中常用的概念，可以从数学上描述数据的集中度和离散度。

数学期望的推导：
设随机变量X的概率密度函数或概率分布为f(x)，数学期望定义为E(X) = ∫xf(x)dx，即随机变量X每个可能取值的概率乘以该取值的数值，然后对所有可能取值进行求和或求积分。

方差的推导：
方差用来衡量随机变量的离散程度，方差的定义为Var(X) = E((X-E(X))^2)，即随机变量X与其数学期望的差的平方的数学期望。可以通过以下步骤推导方差的公式：
1. 展开方差公式：Var(X) = E(X^2 - 2XE(X) + (E(X))^2)
2. 使用期望的线性性质：Var(X) = E(X^2) - 2E(X)E(X) + (E(X))^2
3. 化简得：Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2

通过上述推导，我们可以得到数学期望和方差的公式。这些公式在统计学和概率论中有广泛的应用。

Answer 2

由X~N（0，4）与Y~N（2，3/4）为正态分布得：

X~N（0，4）数学期望E（X）＝0，方差D（X）＝4；

Y~N（2，3/4）数学期望E（Y）＝2，方差D（Y）＝4/3。

由X，Y相互独立得：

E（XY）＝E（X）E（Y）＝0×2＝0，

D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）＝4×4/3＝16/3，

D（2X－3Y）＝2²D（X）－3²D（Y）＝4×4－9×4/3＝4

扩展资料 :

1. 正态分布性质：

⑴ 一般正态分布记为X~N（μ，σ²），标准正态分布记为X~N（0，1）。

⑵ 一般正态分布转化为标准正态分布:若X~N（μ，σ²），Y＝（X－μ）/σ ~N（0，1）。

⑶ 正态分布数学期望为E（X）＝μ，D（X）＝σ²。

2. 数学期望与方差性质:

设C为一个常数，X和Y是两个随机变量，有如下性质：

⑴ 数学期望性质：

E（C）＝C，E（CX）＝CE（X），E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y），在X和Y相互独立时有E（XY）＝E（X）E（Y）。

⑵方差性质：

D（C）＝0，D（CX）＝C²D（X），D（X＋C）＝D（X），在X和Y相互独立时有D（X＋Y）＝D（X）＋D（Y）。

参考资料 :

百度百科_数学期望

百度百科_正态分布

百度百科_方差