几何分布的期望与方差公式怎么推导

Question

如题所述

Answer 1

几何分布的期望与方差公式怎么推导
Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ

=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ

=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)

=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ

因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ

所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2

而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)

所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2

下面计算几何分布的学期望，

Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p

Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ①

当然

(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p

(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ②

①－②得

p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p

所以

Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)

=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)

=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p

=1/p

若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，

其中E(ξ^2)的计算过程如下：

E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ①

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ②

由①得

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③

③－②得

p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p

E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ

(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤

由④得

E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥

⑥－⑤得.

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.

p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.

E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p

=1/p＋2*(1-p)/p/p

=(2-p)/p......
n个服从几何分布的独立同分布随机变数，加起来之后的方差怎么求
你好！根据性质，它们和的方差等于各变数方差之和，每个几何分布的方差是(1-p)/p^2，所以总的方差是n(1-p)/p^2。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
如何求随机变数X服从几何分布的期望和方差
你好！根据性质，它们和的方差等于各变数方差之和，每个几何分布的方差是(1-p)/p^2，所以总的方差是n(1-p)/p^2。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！