已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，外角∠MAC的平分线交BC的延长线于D，其反向延长线交⊙O于E。 求证：AD2

Question

已知：如图，△ABC的外接圆是⊙O，外角∠MAC的平分线交BC的延长线于D，其反向延长线交⊙O于E。

求证：AD^2 = DB•DC—AB•AC

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最下面有图

Answer 1

根据圆外一点向圆作二割线的性质，

或者根据圆内接四边形外角等于内对角性质，

〈CAD=〈EBC，

〈EDB=〈CDA，

△ADC∽△BDE，

可得：

CD*BD=AD*ED，

ED=AD+AE，

CD*BD=AD^2+AD*AE，

AD^2=BD*CD-AD*AE,（1）

四边形BCEA内接于圆，

〈ACD=〈BEA，（圆内接四边形外角等于内对角），

〈MAD=〈EAB（对顶角相等），

〈CAD=〈DAM，（外角平分），

〈CAD=〈EAB，

△EAB∽△CAD，

AB/AD=AE/AC，

AB*AC=AD*AE，

替换（1）式中的AD*AE，

∴AD^2=DB*DC-AB*AC.