设函数f(x)=ex，g(x)=-x24，其中e为自然对数的底数.(1)已知x1...

Question

设函数f(x)=ex，g(x)=-x24，其中e为自然对数的底数. (1)已知x1，x2∈R，求证:12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22); (2)是否存在与函数f(x)，g(x)的图象均相切的直线l?若存在，则求出所有这样的直线l的方程;若不存在，则说明理由.

Answer 1

解答:(1)证明:∵
1
2
[f(x1)+f(x2)]-f(
x1+x2
2
)
=
1
2
(ex1+ex2)-e
x1+x2
2
=
1
2
(ex1+ex2-2e
x1+x2
2
)
=
1
2
(e
x1
2
-e
x2
2
)2≥0，
∴
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
).
(2)解:设直线l与函数f(x)的图象相切，切点为(t，et)，
则直线l的方程为y-et=et(x-t)，即y=etx+et(1-t)，
直线l与函数g(x)的图象相切的充要条件是关于x的方程etx+et(1-t)=-
x2
4
，即
x2
4
+etx+et(1-t)=0有两个相等的实数根，
∴△=e2t-et(1-t)=0，et+t-1=0，
设φ(t)=et+t-1，则φ(0)=0，且φ′(t)=et+1＞0，
φ(t)在R上递增，φ(t)只有一个零点t=0.
∴存在唯一一条直线l与函函数f(x)与g(x)的图象均相切，其方程为y=x+1.