一道高中函数题，1、为什么不可以用基本不等式求这个最小值，2、除了书上这个方法还有别的吗

Question

如题所述

Answer 1

∵本题中给出了区间【1，+无穷大），在该区间内可能取不到基本不等式中的最小值

∴不能用基本不等式求最小值

本题除了书上这种解法外，还可以根据对勾函数的图像进行说明

f(x) = x+1/(2x)+2属于对勾函数，以y轴和y=x+2为渐近线

x＞0时，y= {√x-1/√(2x)}²+√2+2，顶点为(√2/2，2+√2)；

x＜0时，y= - {√(-x)-1/√(-2x)}²-√2+2，顶点为(-√2/2，2-√2)

单调增区间：（-无穷大，-√2/2）U（√2/2，+无穷大）；

单调减区间：（-√2/2，0）U（0，√2/2）。

∵x=1＞√2/2

∴在区间【1，+无穷大）单调增

【备注：本题中，如果没有区间[1，+无穷大）的限制，可以根据均值不等式分别求出x＜0时的极大值2-√2；x＞0是的极小值2+√2】

Answer 2

因为用基本不等式有个很重要的条件啊
就是当且仅当，本题中是要当且仅当X=1/2X时，即X=正负二分之根号二时取等号才成立
而明显的不在 1到正无穷的定义域内，所以用的话不太方便
当然也可以用，就是判断该函数在 这个定义域内是递增函数就知道了在1处取最小值

看样子你们还没怎么接触到形如F(X)=X+1/X的函数，等学到后面，这种函数的单调性性质就可以随手拿来用了，这道题其实看单调性是比较好的，也可以用基本不等式

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