中学阶段的高次方程一般都能简单分解
先试一些简单的整数根如 -1,0,1 等,如果满足就可确定一个因子,然后凑另一个因子的系数。
如 x^3-2x^2-19x+20 ,系数和为 0,说明有因子 x-1
然后 x^3 - 2x^2 - 19x + 20=(x-1)(x^2+ax+b),展开比较系数有 a-1= -2 ,-1*b= 20
所以 x^3 - 2x^2 - 19x + 20=(x-1)(x^2-x-20) ,
最后用十字相乘分解 x^2-x+20=(x+4)(x-5) 。
类似地,可以分解 x^4 + 11x^3 +38x^2 +40x=x(x+2)(x+4)(x+5) 。
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解,这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法:
用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零。
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
方程右边化为0
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程
4. 分别解两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根
扩展资料:
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解,即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式,这种式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用。是解决许多数学问题的有力工具。
参考资料:百度百科 _ 因式分解
解一元三次方程,首先要得到一个解,这个解可以凭借经验或者凑数得到,然后根据短除法得到剩下的项。
具体过程:
以x³-3x²+4=0为例
观察式子,很容易找到x=-1是方程的一个解,所以我们就得到一个项x+1。
剩下的项我们用短除法。也就是用x³-3x²+4除以x+1。
因为被除的式子最高次数是3次,所以一定有x²
现在被除的式子变成了x³-3x²+4-(x+1)*x²=-4x²+4,因为最高次数项是-4x²,所以一定有-4x
现在被除的式子变成了-4x²+4-(-4x²-4x)=4x+4,剩下的一项自然就是4了
所以,原式可以分解成(x+1)*(x²-4x+4),也就是(x+1)*(x-2)²
(x+1)*(x-2)²=0
解得x1=-1,x2=x3=2
解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题,虚数概念的引进、复数理论的建立,就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛,如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但是使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。
上世纪80年代,中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索,发明了比卡尔丹公式更实用的新求根公式——盛金公式,并建立了简明的、直观的、实用的新判别法——盛金判别法,同时提出了盛金定理,盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题,且很有趣味。
盛金公式的特点是由最简重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd和总判别式Δ=B^2-4AC来构成,体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美,简明易记、解题直观、准确高效,特别是当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式3:X⑴=-b/a+K;X⑵=X⑶=-K/2,其中K=B/A,(A≠0),其表达式非常漂亮,不存在开方(此时的卡尔丹公式仍存在开立方),手算解题效率高。
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