第1个回答 2022-10-17
矩阵可逆从几何上来说，证明这个矩阵是满秩的，也就是如果用它的所有行向量线性组合，一定可以铺满整个n维空间，如果用它的所有列向量线性组合，也一定可以铺满整个n维空间。
（但是这并不证明两两行向量之间正交，除非该矩阵不仅可逆，还正交，列也同理。）
在代数上来说，矩阵可逆证明矩阵A和某个矩阵左乘或右乘一定能得到I。换句话说，暗示了矩阵A可以类似于普通代数里边，用作分母。
再看和行列式的关系。我们知道，一个矩阵行列之间彼此相加减是不改变行列式的结果的。（而彼此行列想加减的过程，相当于矩阵左乘了一个线性变换矩阵P（也就是行变换），或者是右乘了P（也就是列变换），而且行列相加减的过程对应的线性变换矩阵P必可逆。从而，）矩阵A经过这样的行列加减变化之后，得到的新矩阵仍然具有可逆性。所以，一个矩阵一定可以通过这样的行列加减消掉下三角部分，得到新的矩阵A'。（就是高斯消元的过程。）
对于缺少下三角部分的矩阵，行列式很容易求得：行列式就是主对角元的乘积。当且仅当A'是上三角阵，也就是主对角元都不为0，行列式才不为0。
另一方面，要是A'最后有k行全为0了，说明A'不满秩，由于A'是A通过可逆变换变过来的，所以A也不满秩，A的稚为(n-k)，也就是不可逆。因此，A要是可逆，得到的A'一定主对角元全都不为0。
所以我们说，行列式不为0是可逆的充要条件。
最后再看可逆和解方程Ax=0的关系。由高斯消元知，要是A'主对角元上全都不为0，（也就是A可逆，）那么x具有唯一解，也就是解集是0维空间。要是A'下边有k行等于0，在则此时方程有一系列解，因为此时只有(n-k)个方程，却有n个变量，所以可以得到解必然由k个线性无关的向量线性组合得到，也就是解空间是个k维空间，对应地，A的秩仅有(n-k)。
因而，求解Ax=0的过程，相当于做了这么一个处理。对于n维空间，A的列向量（必须是列向量）组成了一个(n-k)维不变子空间，（当且仅当k=0时候，A的列向量组成的空间就是原来的n维空间，也就是此时A可逆，）而Ax=0的解集是个k维空间。通过分析可以知道，A的列向量空间和解集空间完全没有交集（当然，除了0向量）。所以，n维空间恰好是A的列向量空间和解空间的直和。