中值定理及不等式的证明

Question

中值定理及不等式的证明求大神帮我证明三道中值定理的题，最好能写一下证明过程，感激不尽

Answer 1

令F(x)=f(x)+x-1,F(0)<0,F（1）>0,由罗尔定理易知成立f(a)=1-a，对于这个a,

f(a)-f(0)=a*f'(α）=1-a

f(1)-f(a)=(1-a)*f'(β)=a

相乘就有第二小题结果

令F(x)=[∫（0→x）f(t)dt]^2-∫（0→x）f(t)^3dt，也就是

的积分上限全部由1变成x

分别对F(x)求导，和对F'(x)求导，因为F''(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)≥0，且F'(0)=0和F(0)=0,可知F(x)≥0

令f(x)=ln^2(x),由拉格朗日定理，要证不等式成立，只要证明2lnα/α>4/e^2即可(α在ab间)

也就是要证lnα/α>>2/e^2，对lnα/α求导可知是单调递减的，所以lnα/α>lne^2/e^2

追问

谢谢