如图，已知函数 的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象 经过点B（0，－1），并且与x轴以及 的图象分别

Question

如图，已知函数 的图象与y轴交于点A，一次函数 的图象 经过点B（0，－1），并且与x轴以及 的图象分别交于点C、D． (1)若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）；(2)在第(1)小题的条件下，在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由．(3)若一次函数 的图象与函数 的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是 ．（请直接写出结果）

Answer 1

（1） ；（2）满足条件的点P有4个： 、 、 、 ；（3） .

试题分析：本题考查了一次函数综合知识，难度适中，关键是掌握分类讨论思想的运用．（1）如图，连接OD，先求出点D的坐标，再求出BD的解析式，然后根据S 四边形AOCD =S △AOD +S △COD 即可求解； （2）求使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．分三种情况讨论：①当DP=DB时；②当BP=DB时；③当PB=PD时。在三种情况下分别求出点P的坐标. （3）交点D始终在第一象限，即点D的横坐标x＞0.可由交点得到：kx-1=x+1，解得 ，由此可得 ；实际上本题可直接根据图象得出答案． 试题解析： 解：（1）∵点D的横坐标为1，点D在y=x+1的图象上， ∴D（1，2）， ∴直线BD的解析式为y=3x-1， ∴A（0，1），C（13，0）， ∴ 应分三种情况讨论：如图， ①当DP=DB时，点D位于BP的垂直平分线上，过点D作DE⊥y轴，则BE=PE ∵B（0，-1），D（1，2）， ∴BE=BO+OE=1+2=3 ∴PE=3 ∴PO=5 ∴点P的坐标为： ②当BP=DB时， ∴ ， ③当PB=PD时，点P位于BD的垂直平分线与y轴的交点上，设P（0，a）， 则（a+1） 2 =1+（2-a） 2 ， 解得： ∴ （3）若一次函数y=kx+b的图象与函数y=x+1的图象的交点D始终在第一象限，则系数k的取值范围是：k＞1．