麦克劳林公式和泰勒公式有什么联系与区别？

Question

如题所述

Answer 1

1、定义不同

泰勒公式：如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

麦克劳林公式：麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。

2、意义不同

泰勒公式的意义是把复杂的函数简单化,也即是化成多项式函数,泰勒公式是在任何点的展开形式。

麦克劳林公式的意义是在0点,对函数进行泰勒展开。

3、提出者不同

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。

1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。

1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。

他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。

参考资料：百度百科-麦克劳林公式

参考资料：百度百科-泰勒公式

Answer 2

麦克劳林公式和泰勒公式都是用来表达函数在无穷小范围内的展开式，但它们有一些区别。
麦克劳林公式是泰勒公式的一个特殊形式，即当函数在某点处的导数存在且在该点处的极限值为0时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式。因此，麦克劳林公式是泰勒公式的一个特例。
另一方面，泰勒公式是一个更一般的公式，它可以用于任何具有足够阶数的可导函数，而麦克劳林公式只适用于某个特定点处的展开。
此外，泰勒公式的余项可以用不同的方式来表达，包括皮亚诺余项、拉格朗日余项和柯西余项等，而麦克劳林公式只是一种特殊的带拉格朗日余项的泰勒公式。
总之，麦克劳林公式和泰勒公式都是用来表达函数在无穷小范围内的展开式，但泰勒公式更通用，而麦克劳林公式只是泰勒公式的一个特例。