矩阵等价与向量组等价

Question

如题所述

Answer 1

区别：

矩阵等价的前提是同型，同型时, 等价的充要条件是秩相同。它是在同型的条件下考虑的
向量组等价的充要条件是 R(A)=R(A,B)=R(B)。

1.等价向量组：

等价向量组具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。

等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

如果向量组A可由向量组B线性表示，且R（A）=R（B），则A与B等价。

2.等价矩阵：

矩阵等价，是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得一个矩阵之间可以相互转化。

如果是行变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的。

如果是列变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的。

扩展资料

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。

向量组等价的基本判定是：两个向量组可以互相线性表示。需要重点强调的是：等价的向量组秩相等，但是秩相等的向量组不一定等价。

参考资料

百度百科-等价矩阵

百度百科-等价向量组

Answer 2

可逆矩阵不改变矩阵的秩,
即有
r(B)=r(PAQ)
=
r(A),
所以A的行(列)秩
=
B的行(列)秩.
但
A,B
的行(列)向量组不一定可以互相线性表示,
即不一定等价.
记住下面2个相关知识点:
1.
若
B
=
PA,
则A,B
的行向量组等价
若
B
=
AQ,
则A,B
的列向量组等价
但若B=PAQ,
就没有相应的结论了
2.
若
B
=
PA,
则B的列向量组与A的对应的列向量组有相同的线性关系
即初等行变换不改变列向量组的线性关系
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