估计定积分大小

估计定积分大小第三题第一小问详细过程谢谢~

推荐答案 2017-03-06

应用m(b-a)≤∫[a积到b] f(x)dx≤M(b-a) 这条定积分性质
PS：m,M分别为f(x)在区间[a,b]上的最小、最大值
设f(x)=1+sin²x
f′(x)=2sinxcosx=sin2x
因为x属于(π/4，5π/4)
令f′(x)=0,得驻点x=π/2或者x=π
根据sin函数的性质
可得
当π/4＜x＜π/2时,f′(x)＞0,f(x)单调递增
当π/2＜x＜π时,f′(x)＜0,f(x)单调递减
当π＜x＜5π/4时，f′(x)＞0,f(x)单调递增
∴当x=π/2时,f(x)max=f(π/2)=2
当x=π时，f(x)min=f(π)=1
所以当x∈[π/4,5π/4]时,f(x)∈[1,2]
∴1×(5π/4-π/4)＜∫f(x)dx＜2×(5π/4-π/4)
π＜∫f(x)dx ＜2π
∴ 积分范围为[π,2π]

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