如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为x³+px+q=0。它的解是：
其中 。
根与系数的关系为 。
判别式为 。当 时，有一个实根和两个复根； 时，有三个实根，当 时，有一个三重零根， 时，三个实根中有两个相等； 时，有三个不等实根。
三个根的三角函数表达式（仅当 时）为
其中 。 一般的一元三次方程可写成 的形式。上式除以 ，并设 ，则可化为如下形式：
，其中 ， 。
可用特殊情况的公式解出 ，则原方程的三个根为
。
三个根与系数的关系为
。 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，并建立了新判别法——盛金判别法。
1.盛金公式
一元三次方程aX3+bX2+cX+d=0，（a,b,c,d∈R，且a≠0）
重根判别式
总判别式Δ=B2－4AC。
当A=B=0时，
盛金公式1：
当Δ=B2－4AC>0时，
盛金公式2：
盛金公式2的三角式：
其中 ， 。
当Δ=B2－4AC=0时，
盛金公式3：
其中 。
当Δ=B2－4AC<0时，
盛金公式4：
其中 ， （A>0，－1<T<1）。
2.盛金判别法
当A=B=0时，方程有一个三重实根。
当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。
当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。
当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。
3.盛金定理
当b=0，c=0时，盛金公式1无意义；当A=0时，盛金公式3无意义；当A≤0时，盛金公式4无意义；当T<－1或T>1时，盛金公式4无意义。
当b=0，c=0时，盛金公式1是否成立？盛金公式3与盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：
盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式2解题）。
盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式1解题）。
盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式3解题）。
盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式4解题）。
盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1<T<1。
显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN TEACHERES COLLEGE,Hainan Province,China. Vol. 2,No. 2；Dec，1989），A new extracting formula and a new distinguishing means on the one variable cubic equation.， Fan Shengjin. PP·91—98 . 当一元三次方程 的系数是复数时，直接使用卡丹公式求解，有时会出现问题。此时，可使用下面的公式：
当 时
当 时
当 时
当 时
