个人对圆锥曲线的小疑问：过抛物线区域内任意一点都能唯一确定一条弦以该点为中点吗?或者说证明或否定抛

Question

个人对圆锥曲线的小疑问：过抛物线区域内任意一点都能唯一确定一条弦以该点为中点吗?或者说证明或否定抛物线围成的区域内的所有点与其所有弦的中点是一一对应的。一定要给出证明啊。

Answer 1

证明：
设抛物线y^2=2px，p>0
区域内点（a，b）满足：
√(2pa)>|b|，即：b^2 <2pa
当b=0时，点在x轴上，很显然，直线x=a与抛物线相交的弦以该点为中心
当b≠0时，设过点（a，b）的直线为y-b=k(x-a)
所以：kx=y-b+ka
联立抛物线：
y^2=2p(y-b+ka)/k
ky^2=2py-2pb+2kap
ky^2-2py+2pb-2kap=0
根据韦达定理：
y1+y2=2p/k
当弦的中点为（a，b）时有：y1+y2=2b
所以：y1+y2=2p/k=2b
解得：k=p/b
所以：该弦所在的直线为y-b=(p/b)(x-a)为唯一的直线
综上所述，抛物线区域内一点可以确定一条弦，使得该点为弦的中点

Answer 2

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