求概率问题

Question

从正方体的八个顶点中任取两个顶点可连成一条直线，从所有这些由两定点连成的直线中任取两条，所得两直线垂直的概率为多少？

Answer 1

因为正方体从各个角度完全对称，所以将第一条直线的一个点确定不动，设该点为A，那么另一个点的选法共有C(7，1)=7种,第二条直线的选法共有C(8，2)=28种，这样的选法第二条直线可能与第一条重叠，这样的情况共有7种。所以选择两条直线的选法为7*28-7=189种组合。

你选取的第一条直线有3种情况：

1：该直线正好是正方形的一条边，AB,AD,AE共3种：这样第二条直线必须在与第一条直线垂直的两个面上（例如第一条为AB,那么第二条线必须在平面BCGF或ADHE面上）每个面上的直线个数为C(4，2)

C(3，1)[2*C(4,2)]=36条

2：该直线是正方形一个面上的一个对角线：AC,AF,AH3种；这样第二条直线共有4+2条。（例如第一条为AC，那么第二条为与平面ABCD垂直的四条边AE,BF,CG,DH,还有两条对角线BD,FH）

3*(4+2)=18条

3：该直线为正方体的大对角线AG，与之垂直的直线为BD,FH.这样的组合为1*2=2条。

所以垂直的概率为：（36+18+2）/189=8/27

追问

答案应该是 22/63

追答

上述第二种、第三种情况有些问题，重新给你回答，第一种情况没有问题。
2：该直线是正方形一个面上的一个对角线：AC,AF,AH3种；例如对角线为AC,那么AC垂直平面BDFH,平面BDFH上的直线共有C(4，2)=6条，除此平面上的直线外还有AE,CH与对角线AC垂直。因此与AC垂直的直线的条数为6+2=8条。对角线AF,AH情况相同。经过A点的对角线这种情况，垂直的直线条数为8*3=24条。
3：该直线为正方体的大对角线AG，与之垂直的直线为BD,FH,CH,BE,DE,CF共6条
因此概率为P=(36+24+6)/189=22/63

Answer 2

(1)放回：
第1次就摸到1的概率：1/10=0.1；
第2次才摸到1的概率：9/10×1/10=0.09；
第3次才摸到1的概率：9/10×9/10×1/10=0.081；
第4次才摸到1的概率：9/10×9/10×9/10×1/10=0.0729；
第5次才摸到1的概率：9/10×9/10×9/10×9/10×1/10=0.06561；
(2)不放回：第1次到第10次首次摸1的概率都是1/10.
第1次就摸到1的概率：1/10=0.1；
第2次才摸到1的概率：9/10×1/9=0.1；
第3次才摸到1的概率：9/10×8/9×1/8=0.1；
第4次才摸到1的概率：9/10×8/9×7/8×1/7=0.1；
第5次才摸到1的概率：9/10×8/9×7/8×6/7×1/6=0.1。