高一数学题:已知函数f(x)={1/x-1,0<x<1 1-1/x,x>=1

Question

已知函数f(x)={1/x-1,0<x<1 1-1/x,x>=1
(1)当0<a<b,且f(a)=f(b) 时，求1/a+1/b的值
（2）若存在实数a,b(1<a<b),使得x ∈[a.b]时,f(x)的取值范围是[ma,mb](m≠0),求实数m的取值范围

Answer 1

兄弟，不是我想赚你的分哦，实在是刚刚才想出来的

0<a<b
且要使得f(a)=f(b)
则有
0<a<1 b≥1
且有
1/a-1=1-1/b
1/a+1/b=2

2)
实数a,b的范围是1<a<b
当x>=1 时，函数f(x)=1-1/x
此时
1/x随x的增大而减小
所以f(x)的值随着x的增大而增大
f(x)在x>1上为单调增函数

而当x ∈[a.b]时,f(x)的取值范围是[ma,mb]
所以
当x=a时，f(a)=1-1/a=ma
当x=b时，f(b)=1-1/b=mb

f(a)-f(b)=1/b-1/a=m(a-b)
(a-b)/ab=m(a-b) 由于a不等于b
m=1/ab

f(a)=1-1/a=ma
f(b)=1-1/b=mb

（a-1)/a=ma a-1=ma^2
（b-1)/b=mb b-1=mb^2
a-b=m(a^2-b^2)
m=1/(a+b)

所以
1/ab=1/(a+b)=m
ab=a+b
ab-a-b=0
(a-1)(b-1)=1
由于
1<a<b
所以,设
a-1=1/t
b-1=t
t为一个大于1的数

a=1+1/t
b=1+t

a+b=1+1+1/t+t>1+1+2√(1/t*t)=2+2=4

所以 4<ab<+∞
m=1/ab
所以
0<m<1/4

Answer 2

1、由0<a<b,画函数图像，所以有0<a<1<b
即f(a)=1/a-1,f(b)=1-1/b

由f(a)=f(b)得
1/a-1=1-1/b
1/a+1/b=2

2、由于x在[1,+∞）上是增函数，所以1/x是减函数，所以-1/x是增函数，即1-1/x是增函数

f(1)=1-1/1=0
f（+∞)=1-1/∞=1
由于x不能取到∞，所以f(x)不能取到1
所以f(x)在[1,+∞)上是增函数，其值域是[0,1)

Answer 3

已知函数f(x)={1/x-1,0<x<1 1-1/x,x>=1
(1)当0<a<b,且f(a)=f(b) 时，求1/a+1/b的值,
显然，应该有（1/a）-1=1-（1/b），得1/a+1/b=2。
（2）若存在实数a,b(1<a<b),使得x ∈[a.b]时,f(x)的取值范围是[ma,mb](m≠0),求实数m的取值范围 。
因为f(x)在[a.b]上为增函数。所以，有1-1/a=ma,1-1/b=mb。
解得，a=[1+√（1-4m）/2m（当0＜m≤1/4），或a=[1-√（1-4m）/2m（当m＜0）。而a＞1，所以，0＜m≤1/4即为所求。

Answer 4

(1) 必定是 0<a<1<b 否则不可能有f(a)=f(b)成立，因为0<x<1时f(x)=1/x-1 x>=1 f(x)=1-1/x 两个都是严格单调的函数 所以有f(a)=1/a-1=1-1/b=f(b) 得1/a+1/6=2
(2)1<a<b, 任意x ∈[a.b] f(x)=1-1/x, f(x)在[a,b]内事单调的 故f(a)=ma f(b)=mb 解得 m=1/a-1/(a)^2

Answer 5

(1)2
(2)(0,1)