高一数学 救急

Question

已知函数f（x）＝x＋1÷x ;用函数单调性定义证明f（x）在［1，2］上是增函数。 步骤写明。

Answer 1

设1≤x1<x2≤2
f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
=(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)
1≤x1<x2≤2
x1-x2<0,x1x2-1>0.x1x1>0
所以 f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
所以 函数f（x）＝x＋1÷x 在［1，2］上是增函数

Answer 2

在区间[1，2]上任取两值，设 1<=x1<x2<=2 ，
则 f(x1)-f(x2)
=(x1+1/x1)-(x2+1/x2) (代入)
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2) (重新分组)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1*x2) (第二项通分)
=(x1-x2)[1-1/(x1*x2)] (提取公因式)
=(x1-x2)*(x1*x2-1)/(x1*x2) (第二个因子通分)
因为 x1<x2，所以 x1-x2<0 ；因为它们都大于1，所以 x1*x2>1 ，
因此 f(x1)-f(x2)<0 ，
即 f(x1)<f(x2)，
所以，函数在 [1，2] 上为增函数。

Answer 3

设1≤x1<x2≤2
f(x2)-f(x1)=x2-x1+1/x2 -1/x1
=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)
=(x2-x1)[1-1/(x1x2)]
因为 1≤x1<x2≤2
所以x1x2>1，1-1/(x1x2)>0
从而
(x2-x1)[1-1/(x1x2)]>0
f(x1)<f(x2)
所以 f(x)=x+1/x在区间[1,2]上是增函数

Answer 4

f(x)=x+1/x
设 1<=x1<=x2<=2
f(x1)=x1+1/x1
f(x2)=x2+2/x2
f(x2)-f(x1)=x2-x1+(x1-x2)/(x1x2
=(x2-x1)(1-1/x1x2)
x2>x1 所以x2-x1>0
1<x1<x2 所以 x1x2>1 1-1/x1x2>0
所以f(x2)-f(x1)>0 f(x2)>f(x1)
所以在[1,2]上 自变量大的函数值大，f(x)是在[1,2]上的增函数

Answer 5

设2>=x1>x2>=1
f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)=(x1-x2)*[1-1/x1x2]=(x1-x2)(x1x2-1)/(x1x2)
由于:x1>x2,则x1-x2>0
x1>1,x2>=1,则x1x2>1,即x1x2-1>0,x1x2>0
所以,f(x1)-f(x2)>0
由增函数定义,函数在[1,2]上是增函数.

Answer 6

这个函数的图像有点NIKE的标志。就是一个“对”的那个。
就用函数的单调性，设一个大，一个小，然后通分来减呀。