如何证明不等式？

Question

如题所述

Answer 1

这里有三个常见的不等式公式：

1. 算术-几何-调和不等式（AM-GM 不等式）：
对于任何正实数 a, b, c，有：

(a + b + c) / 3 ≥ (abc)^(1/3)

当且仅当 a = b = c 时，等号成立。

2. 柯西-施瓦茨不等式
（Cauchy-Schwarz 不等式）：
对于任何实数向量 x 和 y，有：

(x.y) ≤ (x.x)^(1/2) * (y.y)^(1/2)

其中，点积 (x.y) = ∑(xi * yi)，x.x = ∑(xi^2)，y.y = ∑(yi^2)。

同样，当且仅当 x 和 y 成比例时，等号成立。

3. 切比雪夫不等式
（Chebyshev 不等式）：
对于任何随机变量 X 和实数 k > 0，有：

P(|X - E[X]| ≥ k) ≤ (Var(X))/k^2

其中，E[X] 表示随机变量 X 的期望值，Var(X) 表示随机变量 X 的方差。

这些不等式在数学、统计学和物理学等领域都有广泛的应用。