什么是边界点？

Question

如题所述

Answer 1

我不用“边界点”这个翻译，我用我教材上的翻译“界点”，因为“边界点”这个翻译会误导人。

先说结论：界点有两种，一种不是孤立点，这种界点在点集E的边缘上；另一种为孤立点，存在以它为中心的空心邻域中不包含点集E的任何点，所以这种界点并不在边缘上。

所以你可千万不要以为界点一定只在边缘上，只要它符合界点的定义：任何以它为中心的实心邻域与E都有重合、与E的补集也都有重合的点即为界点。

这样一来，孤立点一定是界点，因为孤立点本身属于E，所以任何以它为中心的实心邻域与E都有重合；同时孤立点是一种“存在以它为中心的空心邻域中不包含点集E的任何点。”的点，所以它的任何实心邻域与E的补集都会有重合，完全符合界点的定义。

反过来说，孤立点与它本身（属于E）接触，又与E的补集（不属于E）接触，所以它本身必为界点。