点差法的基本步骤

Question

如题所述

Answer 1

点差法的基本步骤介绍如下：

点差法是一种解决直线与圆锥曲线相交问题的方法，它主要运用在处理弦中点的有关问题上。其基本步骤如下：

1. 首先，设出直线和圆锥曲线的交点，分别为 (x1,y1) 和 (x2,y2)，同时设定这两点的中点坐标为 (x0,y0)。此时可以根据两点坐标的性质得出关系式：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0。

2. 然后，将 (x1,y1) 和 (x2,y2) 分别代入到圆锥曲线的解析式中，并对这两个表达式进行相减操作。

3. 最后，利用平方差公式对上述结果进行因式分解。根据分解的结果，必然得到一个形式为A(x1-x2)+B(y1-y2)=0的等式，其中的A和B两个系数可以根据圆锥曲线的具体类型来确定。

点差法公式是什么?

点差法通用公式为a²ky+b²x=0，该公式可适用于椭圆类题目。

点差法公式是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。

点差法不等价性注意事项：

另需注意点差法的不等价性,在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系，只有Δ>0，直线才是存在的，而常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。

点差法公式本质两平行方程的变形，如对椭圆：x1^2+y1^2=1...1,x2^2+y2^2=1...2,一式减二式，变形得：(y1-y2)/(x1-x2)=-b^2（x1+x2)/a^2（y1+y2),即斜率k=-b^2(x1+x2)/a^2(y1+y2）=-b^2x*/a^2y*,（设x*,y*为中点）。