一、知识点定义来源和讲解
内切圆是指与一个多边形（特别是三角形）的所有边都相切于内部的圆。三角形的内切圆被称为三角形的内切圆，其圆心位于三角形的内部，与三角形的三条边都相切。
三角形面积可以通过海伦公式或其他方法计算得出，而内切圆的面积由半径决定。因此我们需要找到内切圆半径与三角形边长之间的关系，从而推导出内切圆面积与三角形面积的关系。
二、知识点运用
根据几何关系，在一个三角形中，内切圆的半径与三角形的半周长（也就是三角形的三条边的半和）之比是一个常量，通常记作 r，即：
r = (a + b + c) / (2s)
其中，a、b、c分别表示三角形的三边的长度，s表示三角形的半周长。
根据内切圆的面积公式 S = πr^2，可以推导出内切圆面积 S 与三角形面积 T 的关系：
S = πr^2 = π[(a + b + c) / (2s)]^2 = π(a + b + c)^2 / (4s^2) = T / s
即，内切圆的面积与三角形面积之比等于三角形的半周长与三角形面积之比。这个比值是一个常数，不受三角形形状的影响。
三、知识点例题讲解
例题：已知一个三角形的三边分别为3cm、4cm和5cm，求其内切圆的面积与三角形的面积的比值。
解答：首先计算三角形的半周长 s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6 cm。
然后计算三角形的面积 T，可以使用海伦公式：
T = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) = √(6(6 - 3)(6 - 4)(6 - 5)) = 6 cm^2
接下来计算内切圆的半径 r = (3 + 4 + 5) / (2 × 6) = 1 cm。
最后计算内切圆的面积 S，根据 S = πr^2：
S = π × (1^2) = π cm^2
所以，内切圆的面积与三角形的面积的比值为：
S / T = (π cm^2) / (6 cm^2) ≈ 0.523
因此，内切圆的面积与三角形的面积的比值约为0.523。
假设三角形的半周长（即半周长等于三条边长度之和的一半）为s，三角形的面积为A，内切圆的半径为r。那么内切圆面积与三角形面积的关系可以表示为：
内切圆面积 = 三角形面积 * (r/s)²
即内切圆面积等于三角形面积乘以（r/s）²。
这个关系可以通过几何推导得出。具体推导步骤如下：
1. 根据三角形的半周长s和面积A的公式：A = sr，可以解得r = A/s。
2. 由于内切圆的半径r与三角形的半周长s之间存在线性关系，那么内切圆的面积与半径的平方成正比。
3. 由于面积与半径的平方成正比，且半径为A/s，所以内切圆面积为三角形面积乘以（r/s）²。
这个关系的意义在于，可以通过已知三角形的面积和半周长来计算内切圆的面积，或者通过已知内切圆的面积和三角形的半周长来计算三角形的面积。本回答被网友采纳
假设三角形的半周长（即半周长等于三条边长度之和的一半）为s，三角形的面积为A，内切圆的半径为r。那么内切圆面积与三角形面积的关系可以表示为：
内切圆面积 = 三角形面积 * (r/s)²
即内切圆面积等于三角形面积乘以（r/s）²。
我们假设三角形的边长分别为 a、b、c，其中内切圆的半径为 r。
根据三角形的性质，可以得知所有内切圆都有一个共同的特点：内切圆的圆心与三角形三条边的中点相同。记这个共同的点为 I（即内心）。
根据内心到三角形各顶点的距离，可以得到以下等式：
IA = IB = IC = r
其中，IA、IB、IC 分别表示内心 I 到三角形三个顶点 A、B、C 的距离。
同时，可以通过内心 I 连接到三角形各顶点 A、B、C，得到三个以内心为顶点的小三角形。
我们知道，对于内接三角形 ABC，用 r 表示内切圆的半径，用 S 表示三角形 ABC 的面积，那么有以下关系成立：
S = p * r
其中，p 为三角形的半周长，即 p = (a+b+c)/2。
这个关系可以通过使用海伦公式或其他方法计算三角形的面积得到。
综上所述，内切圆面积与三角形面积的关系是：三角形的面积等于半周长与内切圆半径之积