变上限函数求导问题。

Question

近来学习了变上限函数，记住了公式：

但遇到一个无法理解的问题，以下为例子：

显然倘若带入以上公式结果是不对的，我想应该是将积分的差改成差的积分来做再求导。
疑惑点在于：
1.为什么用以上公式是不对的？
2.这种函数是否与复合函数有异曲同工之处？
3.而似乎一下例子代入公式是与正确答案一样，是巧合还是必然呢？

Answer 1

巧合。首先你要知道变限求导的推导过程，其中f(t)是与t有关的函数，与x无关。所以当被积函数中包含x时，要将x取出积分号外（因为是对t求积分，故x可当成常数。求导时，再按照复合函数求导，就可以了）
接下来例子1.
∫0-x^2 (x^2-t)cost^2*dt=x^2*∫0-x^2 (cost^2)dt-∫0-x^2 (t*cost^2)dt（这里的求导才可以用第一个公式）
在对x求导，de: 2x*∫0-x^2 cost^2dt + 2x^3cosx^4 -x^2*cosx^4

第二个同理，2x*∫0-x costdt-∫0-x tcostdt
求导, 2*∫0-x costdt + 2xcost -xcosx
=2*∫0-x costdt +xcosx

Answer 2

你这个当然是不对的
在第二个和第三个例子中，被积函数里的自变量x应该先分离到积分符号外面来。因此那个积分式子对自变量x是不积分的

Answer 3

1式子里的x的平方也是自变量 也要求导
3答案不一样