求解复变函数论第四版一道证明题

如题所述

推荐答案 2015-09-29

证明：考虑极限lim(z→z0)[f(z)-f(0)]/z。①沿虚轴的极限，lim(y→0)y^3(1-i)/(-iy^3)=1+i。②沿实轴的极限，lim(x→0)x^3(1+i)/x^3=1+i。这两者的极限分别是∂u/∂x+i∂v/∂x及∂v/∂y-i∂u/∂y，∴满足C.-R.条件。但若考虑沿直线y=x的极限，则lim(y=x→0)[f(z)-f(0)]/z=ix^3/[2x^3(1+i)=i/(1+i)。故，极限lim(z→z0)[f(z)-f(0)]/z不存在，即函数f(z)在原点（z=0）不可微/导。供参考。

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