1.多元函数连续不是偏导存在的
充分条件也不是
必要条件。
2.而偏导连续则是更强的条件，即偏导存在且连续可以推出多元函数连续，反之不可。
下面来分析，首先大家需要了解这些定义都是人定义出来的，可以反映多元函数的部分特征。所以，只要掌握了这些定义的意义就可以看出其背后的本质，才能判断定义间的相互关系。
定义
1.多元函数连续，f为多元函数，对于其
定义域内任一聚点X，当一列{Xn}趋近于X时，f（Xn）趋近于f（X），则称f在定义域上连续。需要注意的是，这里的{Xn}是可以用任何方式趋近X的，是任何方式！！这就是很关键的一点了，后面的很多判断也是基于此。
2.多元函数偏导存在，具体定义这里不好打出来。我说一下，和一元函数十分类似的定义，把其余的元视为常量，然后求函数值之差和
自变量之差的商的极限即可。这里的关键是，只在一个方向上的极限！
3.多元
偏导数存在且连续，结合1.2的定义即可。
所以，由1.2定义可以看出来多元函数连续和其偏导存在是没有直接联系的。
多元函数在某点可偏导，可是可能在这点沿不同方向的极限不同，所以不一定连续。
而
连续函数的偏导是不是一定存在，这个例子在一元函数里也很常见，比如x的
绝对值，在x=0的时候没有导数。
而偏导连续这就很强了。我们这里引入多元函数可微的概念，具体定义叙述很麻烦。
我的理解是类似于用多元
线性函数来逼近一般多元函数。
而偏导连续（是偏导连续哦！而不是偏导数存在+函数连续！是偏导数存在且偏导数连续），是可以推出可微的。（这个证明我也没有写，参见北京大学出版社的《数学分析3》作者伍胜健）
而可微是很强的结论，因为可以用十分特殊的线性函数来逼近的话，很多特殊的反例就不见了，而线性函数是连续的，这由定义可以看出来。
所以，偏导存在且连续可以推出函数连续，反之不能。
反例沿用之前的反例，函数连续，但偏导不存在。