求曲线围成图形绕x轴与Y轴的旋转体体积

Question

求曲线y=x^2/3(x的三分之二次幂)与y=x围成的图形分别绕X和Y轴旋转一周的旋转体体积(请注明解题过程）... 求曲线y=x^2/3(x的三分之二次幂)与y=x围成的图形分别绕X和Y轴旋转一周的旋转体体积(请注明解题过程） 展开

Answer 1

图我这里就不画了
曲线y=x^2/3是一个以原点为顶点
y为对称轴
x>0时
单调递增
开口向下的二条抛物线
与y=x交点为(1,1)
绕y轴旋转体积：
y=x绕y轴体积(这是个圆锥体)
减去
y=x^2/3即x=y^3/2绕y轴旋转体积
符号不好打
下面用∫(0,1)
表示从0积到1
V1=1/3πr^2*h-∫(0,1)πr^2dy
=π/3-∫(0,1)πy^3dy
=π/3-πy^4/4(0,1)
=π/3-π/4
=π/12
绕x轴：
y=x^2/3即x=y^3/2绕x轴旋转体积
减去
y=x绕y轴体积（刚求出来是π/3）
V2=∫(0,1)πR^2dx-π/3
=∫(0,1)πx^4/3dx-π/3
=(3πx^7/3)/3(0,1)-π/3
=π-π/3
=2π/3