第1个回答 2022-07-21
最短路径问题是初中教学的一个难点，无论是简单问题还是复杂问题，采用的方法是作轴对称变换，转化为：
①两点之间，线段最短；②垂线段最短.
下面我们就一个很著名的定理加以说明.
定理内容：在一个锐角三角形内部作一个内接三角形（三个顶点分别都在原三角形的边上），以三个垂足为顶点的三角形周长最小.
且最短三角形的内心（三条角平分线交点）是原三角形的垂心（三条高的交点）.
如图1所示. DEF内接于锐角ABC，当CD⊥AB，BF⊥AC，DE⊥BC时，DEF的周长最小.
我们先将D固定在边AB上任意一点，找到在这点不动的前提下，E和F的位置，求出最短周长与某条线段的关系
分别作D关于直线AC和BC的对称点D'和D''，连接D'D'',分别交AC，BC于点F和E
很明显，此时的DEF的周长最小，最小值是D'D''的长度，如图2所示.
根据三角形两边之和小于第三边，得：D'D''<CD'+CD''
根据轴对称性质，得：CD=CD'=CD''
所以D'D''<2CD
因此，DEF周长的最小值，是在CD最小时取得，根据垂线段最短原则，
当CD⊥AB时，CD最小，此时DEF周长最小. 如图3所示.
下面我们证明，BF⊥AC，AE⊥BC
如图3，由轴对称可知：
标∠1的两个角相等，标∠2的两个角相等，标∠3的两个角相等，标∠7的两个角相等
因为CD'=CD''，所以∠1=∠2,
因为CD⊥AB，所以∠3=∠4，（等角的余角相等）
根据对顶角相等，所以∠7=∠8
所以可以得到：∠FDB+∠FD''B=180°
根据对角互补的四边形四点共圆，又因为BD=BD''
所以∠5=∠6（等弦，则等弧，则相应的优弧或劣弧所对圆周角相等）
又∠7=∠8
所以∠5+∠7=90°，即BF⊥AC
同理AE⊥BC
根据前面所证：∠1=∠2，∠5=∠6，可知AD、BF是DEF的内角平分线
即最短三角形的内心（三条角平分线交点）是原三角形的垂心（三条高的交点）
故而得证.