定积分问题

Question

设F（x）=∫ sint/t dt ,求F'(0)
其中∫ 表示下限为0 上限为x 的积分符号
要过程， 解释为什么0 可以代进去。。
首先， 我知道 F'(x) = sinx/x ， 我问的是， F'(x)在 x=0 处事没有意义的， 题目为什么要问F'(0)

Answer 1

首先F'(x)=lim(dx->0)(F(x+dx)-F(x))/dx
=lim(dx->0)(∫(0,x+dx) sint/t dt -∫(0,x) sint/tdt)/dx
=lim(dx->0)(∫(x,x+dx) sint/t dt/dx
=sinx/x
F'(0)=lim(x->0) sinx/x=1
你的意思是在x=0处没有意义对吧，的确是的，从你的这个角度上看来x=0时sinx/x是没有意义的，但是假如你将sinx按照泰勒展开就发现其实在0处我们可以对它定义的，sinx=x-x^3/3!+x^5/5!....
在这个展开式中每一项都能被x整除，这个题目的意思是要你求x->0的极限，但是写成sinx/x的形式的确有点歧义

Answer 2

F'(x)=d/dx∫sint/t dt

=sint/t

F'(0)=lim sint/t = 1 （有这个公式，高数书里肯定有的）
x趋向于0

至于为什么能把0带入，这个问题就太奇怪了。。。
F'(0)就是表示在x=0处，F（x）这个函数的导数，第一步把F'(x)表达出来，然后自然是把0带入

希望可以对你有帮助

Answer 3

倒数的定义是极限 与函数在这个点是否有极限无关 建议楼主去看看导数的定义