高三数学，为什么二面角的正弦值大小等于两法向量余弦值的绝对值，最好有画图解释，谢谢

Question

高三数学，为什么二面角的正弦值大小等于两法向量余弦值的绝对值，最好有画图解释，谢谢例如这两道题

Answer 1

如图所示，A为二面角，A两边是两个平面，B两边是法向量。所以二面角大小和两法向量夹角，要么相等，要么互补（看法向量所选的方向），但总的来说，他们的余弦值绝对值是相等的，二面角正弦值和它两面的法向量余弦值并不相等（45度除外）。你看题目，人家是通过求出余弦值，然后再计算正弦值（那里写了“于是”），并不是说余弦值等于正弦值（你提问的是这两个值为什么相等，事实上题目没有表现这点，是你理解错了）。

而另外一个题目，说正弦值等于余弦值，是指直线和平面的夹角，不是二面角，两者也不是一回事。直线和平面法向量，以及法向量的投影（看下图ABC，ACB是直线与平面的夹角，BAC是法向量和直线夹角）构成直角三角形，所以A+C=90度，因此才有你说的“正弦值等于余弦值”，再次强调，这里是指直线和平面，不是指二面角。这些结论不是死记硬背，更不要任何情况都套进去，一定要在具体题目找出这个关系。

看例题要学习思路，例题是通过什么线索解题的，为什么例题要这样做，如果不这样做，是否有其他方法？而不是为了看明白这道题，你不了解这点，却去纠结局部结果，看再多例题也是徒然。

追问

这样子？

Answer 2

二面角正弦值的大小不等于余弦值的大小呀

只有线面角正弦值才跟余弦值相等 如图sin60＝|cos120|

而绝对值的话 因为【两个面
】相交不可能有＞180度的存在 而在0-180的弧度范围内sin值都是正的，所以是绝对值

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Answer 3

我说说我的理解吧，不用图。第二题中，那个直线与平面的正弦值。
简单说，题目叫我们求A角的正弦值sinA，然而………其实我们用公式求的出的是：平面法向量与直线的余弦值cosB，而A+B=90。 所以想求A的正弦值不能用平方和为1来求！！！如果这样我们求出的是B的正弦值，不是题目要求的A的正弦值，剩下的需要用到诱导公式，嗯~差不多剩下的自己探寻吧